Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm chi tiết nhất

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10 môn Toán.

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm tổng hợp toàn bộ kiến thức về phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng kèm theo cách viết và một số bài tập có đáp án giải chi tiết và tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về viết phương trình đường thẳng. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
2. Phương trình tham số của đường thẳng
3. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
4. Bài tập viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
5. Bài tập tự luyện viết phương trình của đường thẳng

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là: $ax + by + c = 0;\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)$ nhận $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ nhận $\overrightarrow u (a,b)$ làm vecto chỉ phương, Ta có:

$B\left( {x,y} \right) \in d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = t\overrightarrow u \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_0} = at} \\ {y - {y_0} = bt} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {x_0} + at} \\ {y = {y_0} + bt} \end{array}} \right.;\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0,t \in \mathbb{R}} \right)$

- Đường thẳng d đi qua điểm $A\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ , nhận $\overrightarrow u (a,b)$ là vecto chỉ phương, phương trình chính tắc của đường thẳng là $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}$ với $(a,b \ne 0)$

3. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

a. Sử dụng định nghĩa

Bài toán: Cho hai điểm A(a, b), B(c, d). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

Phương pháp:

Bước 1: Tính: $\overrightarrow {AB} = \left( {c - a;d - b} \right)$ (vectơ chỉ phương của đường thẳng d)

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d: $\overrightarrow n = \left( {b - d;c - a} \right)$

Bước 3: Phương trình đường thẳng d:

$\left( {b - d} \right)\left( {x - a} \right) + \left( {c - a} \right)\left( {y - b} \right) = 0$

b. Sử dụng phương trình tổng quát

Bài toán: Cho hai điểm A(a, b), B(c, d). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

Phương pháp:

Bước 1: Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng d là y = mx + n (*)

Bước 2: Thay tọa độ A, B vào phương trình tổng quát ta thu được hệ phương trình ẩn m, n

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = am + n} \\ {d = cm + n} \end{array}} \right. \Rightarrow \left( {m;n} \right) = \left( {?;?} \right)$

Thay m, n vừa tìm được vào phương trình (*) ta suy ra phương trình cần tìm.

4. Bài tập viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng tham số, phương trình tổng quát đi qua 2 điểm A (1;2) và B (2;3). Vẽ đường thẳng vừa tìm được trên hệ tọa độ Oxy.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Sử dụng định nghĩa

Cách 2: Sử dụng phương trình tổng quát

$\overrightarrow {AB} = \left( {1,1} \right)$

Phương trình tham số: $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1}$

$\overrightarrow n = \left( { - 1,1} \right)$

Phương trình tổng quát:

$\begin{matrix} - 1.\left( {x - 1} \right) + 1.\left( {y - 2} \right) = 0 \hfill \\ \Rightarrow y = x + 1 \hfill \\ \end{matrix}$

$\overrightarrow {AB} = \left( {1,1} \right)$

Phương trình tham số: $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1}$

Gọi phương trình tổng quát là:

y = ax + b

Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 = a.1 + b} \\ {3 = a.2 + b} \end{array}} \right. \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( {1;1} \right)$

Vậy PT tổng quát cần tìm là: $y = x + 1$

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết

a) Đi qua 2 điểm A(-3,2), B (5,-4). Tính diện tích tam giác được tạo bởi đường thẳng và 2 trục tọa độ.

b) Đi qua A (3,1) song song với đường thẳng y = -2x + m -1

Hướng dẫn giải

a. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 = - 3a + b} \\ { - 4 = 5a + b} \end{array}} \right. \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( { - \frac{3}{4}; - \frac{1}{4}} \right)$

Vậy PT tổng quát cần tìm là: $y = - \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$

Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là: $y = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{3} \Rightarrow A\left( { - \frac{1}{3};0} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( { - \frac{1}{3};0} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \frac{1}{3}$

Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là: $x = 0 \Rightarrow y = - \frac{1}{4} \Rightarrow B\left( {0; - \frac{1}{4}} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {OB} = \left( {0; - \frac{1}{4}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{24}}$

b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1

⇒ a = -2

Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b

Mà đường thẳng qua điểm A(3; 1)

⇒ 1 = 3.(-2) + b
⇒ b = 7

Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7

Bài 3: Cho hàm số $y=2 x^{3}+3(m-1) x^{2}+6(m-2) x-1$ . Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4 x+1

Cách giải:

Ta có : $y^{\prime}=6 x^{2}+6(m-1) x+6(m-2)$

Hàm số có hai cực trị $\Leftrightarrow \Delta=(m-1)^{2}-4(m-2)>0$

$\Leftrightarrow(m-3)^{2}>0 \Leftrightarrow m \neq 3$

Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4 x+1 thì hệ số góc của đường thẳng đó phải bằng -4

Áp dụng công thức tính nhanh ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :

$-4=\frac{2}{3}\left[6(m-2)-\frac{9(m-1)^{2}}{6}\right]=4(m-2)-(m-1)^{2} \Leftrightarrow-(m-3)^{2}=-4 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=1 \\ m=5\end{array}\right.$

5. Bài tập tự luyện viết phương trình của đường thẳng

Bài 1: Cho hàm số y = 2x² + 3.(m-1).x² + 6 .(m-2).x-1 Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = -4x + 1

Bài 2: Cho đường thẳng AB với A(-2, 3) và B(4, -1). Hãy tìm phương trình tổng quát của đường thẳng AB.

Bài 3: Cho phương trình tổng quát của đường thẳng là 2x - 3y + 6 = 0. Tìm vị trí của các điểm cắt của đường thẳng với trục hoành và trục tung.

Bài 4: Cho Parabol (P): y = -x² . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B biết A và B là hai điểm thuộc (P) và có hoành độ lần lượt là 1 và 2.

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A ( -2; 0; 3) và B (1; 1; 5). Tìm mệnh đề sai?

A. Phương trình tham số của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiể

B. Phương trình chính tắc của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

C. Đường thẳng d đi qua điểm H( - 5; -1; 1)

D. Đường thẳng d đi qua điểm K( -11; -3; -3)

Bài 6: Cho tam giác ABC có A(2; -1; 3), B(0; 5; 3), C(2; 1; 4). Chọn mệnh đề sai về phương trình đường trung tuyến CN

A. Phương trình tham số của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

B. Phương trình chính tắc của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

C. Phương trình tham số của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

D. Phương trình chính tắc của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0;0) và A(-1; 2; -4)?

A. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

B. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

C. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

D. Tất cả sai

Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A (2; 3; 5); B ( 0; -1; -3) và C ( 4; -1; -3). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Viết phương trình đường thẳng MN?

A. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

B. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

C. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

D. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu