Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là một trong những dạng bài tập khó trong chương tình Toán lớp 9 và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10.

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là dạng toán tương đối khó nó mang tính trừu tượng rất cao. Dạng toán này đòi hỏi học sinh phải có các kiến thức về hình học và phải biết tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán đã cho với thực tiễn đời sống. Hi vọng qua bài học mà Download.vn giới thiệu dưới đây sẽ giúp cho học sinh dễ dàng hơn trong việc giải các bài toán hình học, qua đó kích thích lòng say mê tìm hiểu môn Toán. Bên cạnh đó các bạn xem thêm một số tài liệu khác như: tâm đường tròn nội tiếp tam giác, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

1. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
2. Ví dụ tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
3. Làm thế nào để vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác?
4. Bài tập tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

1. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, S là diện tích tam giác ABC

Cách 1: Sử dụng công thức diện tích tam giác

$S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}}$

Cách 2: Sử dụng định lí Sin trong tam giác

Ta có:

$\begin{matrix} \dfrac{a}{{\sin \widehat A}} = \dfrac{b}{{\sin \widehat B}} = \dfrac{c}{{\sin \widehat C}} = 2R \hfill \\ \Rightarrow R = \dfrac{a}{{2\sin \widehat A}} = \dfrac{b}{{2\sin \widehat B}} = \dfrac{c}{{2\sin \widehat C}} \hfill \\ \end{matrix}$

Cách 3: Tính chất của tam giác vuông

- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền, do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính bằng nửa độ dài cạnh huyền.

Cách 4: Sử dụng hệ tọa độ

- Tìm tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Tìm tọa độ một trong ba đỉnh A, B, C (nếu chưa có)

- Tính khoảng cách từ tâm O tới một trong ba đỉnh A, B, C, đây chính là bán kính cần tìm: R = OA = OB = OC

*Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Một tam giác đều là tam giác có cả ba cạnh và ba góc bằng nhau. Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều chính bằng độ dài một cạnh của tam giác đó.

Do tam giác đều có các cạnh bằng nhau, ta có thể sử dụng công thức sau để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều:

$r=\frac{a}{2}$

Trong đó:

r là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều.
a là độ dài một cạnh của tam giác đều.

Chú ý rằng công thức này chỉ áp dụng được cho các tam giác đều. Nếu tam giác không phải tam giác đều, bạn cần sử dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác như đã trình bày trong câu trả lời trước đó.

2. Ví dụ tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ví dụ 1: Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat A = \widehat B = {90^0}$ , BC = 2AD = 2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC, M là trung điểm của HC. Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM.

Gợi ý trả lời

Vẽ hình:

Gọi N là trung điểm của BH thì MN là đường trung bình của tam giác HBC => MN ⊥ AB

Mặt khác BH ⊥ AM

=> N là trực tâm của tam giác ABM

=> AN ⊥ BM

Do $MN// = \frac{1}{2}BC$ => MN //= AD

Nên ADMN là hình bình hành => AN // DM

Từ đó ta có: DM ⊥ MB hay tam giác DBM vuông tại M nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBM là trung điểm O của BD

Ta có: $R = MO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {4{a^2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

Theo công thức Hê - rông, diện tích tam giác A B C là:

$\begin{aligned} &S=\frac{\sqrt{(A B+A C+B C)(A B+B C-A C)(A B+A C-B C)(B C+A C-A B)}}{4} \\ &=\frac{\sqrt{(3+5+6)(3+6-5)(3+5-6)(6+5-3)}}{4} \\ &=\frac{\sqrt{14.4 .2 .8}}{4}=\frac{\sqrt{896}}{4}=\frac{8 \sqrt{14}}{4}=2 \sqrt{14} \end{aligned}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

$\mathrm{R}=\frac{\mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \mathrm{BC}}{4 \mathrm{~S}}=\frac{3 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 2 \sqrt{14}}=\frac{90}{8 \sqrt{14}}=\frac{45}{4 \sqrt{14}} .$

3. Làm thế nào để vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác?

Bước 1. Dựng đường trung trực của đoạn thẳng CB
Bước 2. Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB
Bước 3. Dựng giao điểm O của hai đường trung trực
Bước 4. Dựng đường tròn tâm O bán kính OC (hoặc OA, OB)

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là một phần kiến thức được đánh giá là rất quan trọng đối với các bạn học sinh. Nắm được lý thuyết và thực hành bài tập liên quan đến chương trình học sẽ giúp bạn chinh phục bài tập khó của toán học lớp 9

4. Bài tập tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1; AC = 4. Gọi M là trung điểm AC.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính bán kính R₁ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) Tính bán kính R₂ của đường tròn ngoại tiếp tam giác CBM.

Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = 10. Gọi (I) là đường tròn có tâm I thuộc cạnh BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Biết đường tròn (I) có bán kính bằng 3 và 2IB = 3IC. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, Ab = 5cm, AC = 12cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.

Bài 5: Cho hình vuông ACBD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Gọi E là giao điểm của AM và DN

a) Tính số đo góc CEN

b) Chứng minh 4 điểm A, D, E, M thuộc cùng 1 đường tròn.

c) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đi qua ba điểm B, D, E,.

Bài 6; Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.